Динамические и статические законы.

2. Динамические закономерности

Физические явления в механике, электромагнетизме и теории относительности в основном подчиняются, так называемым динамическим закономерностям. Динамические законы отражают однозначные причинно-следственные связи, подчиняющиеся детерминизму Лапласа.

Динамические законы - это законы Ньютона, уравнения Максвелла, уравнения теории относительности.

Классическая механика Ньютона

Основу механики Ньютона составляют закон инерции Галилея, два закона открытые Ньютоном, и закон Всемирного тяготения, открытый также Исааком Ньютоном.

1. Согласно сформулированному Галилеем закону инерции, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

2. Этот закон устанавливает связь между массой тела, силой и ускорением.

Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе и обратно пропорционально массе материальной точки (тела)

Второй закон справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон можно получить из второго.

3. Устанавливает связь между силой действия и силой противодействия.

Третий закон Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

4. В качестве IV закона выступает закон всемирного тяготения.

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой пропорциональной массе сил и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами тел.

Уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. В учении об электромагнетизме они играют такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.

Из уравнений Максвелла следует, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами

(электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Уравнения теории относительности.

Специальная теория относительности, принципы которой сформулировал в 1905 г. А.Эйнштейн, представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. Специальная теория часто называется релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией - релятивистским эффектом (эффект замедления времени).

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна:

принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные в данной инерциальной системе отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы к другой;

принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы, утверждает таким образом, что физические законы инвариантны

по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления механические, электродинамические, оптические и др. во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

Согласно второму постулату, постоянство скорости света в вакууме - фундаментальное свойство природы.

Общая теория относительности, называемая иногда теорией тяготения - результат развития специальной теории относительности. Из нее вытекает, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени может изменятся от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.

МЕХАНИЧЕСКИЙ ДЕТЕРМИНИЗМ

Детерминисты считают, что все происходящее в мире рассматривается как следствие действия объективных однозначных законов, а случайность является выражением непознанной необходимости. Возникло философское учение механический детерминизм, классическим представителем которого был Пьер Симон Лаплас (1749-1827) - французский математик, физик и философ. Лапласовский детерминизм выражает идею абсолютного детерминизма - уверенность в том, что всё происходящее имеет причину в человеческом понятии и есть непознанная разумом необходимость. Концепция детерминизма по Лапласу, предполагает однозначность и предопределенность будущего, это вытекает из признания жесткой причинно-следственной связи между событиями и явлениями и отрицает объективность случайности. В мире все объективно предопределено и детерминировано. Не может быть никаких "либо, либо". Будущее также однозначно, как и прошлое. Механический детерминизм объединяет в единое целое такие понятия, как "материя", "информация", "пространство" и "время". Все эти понятия должны рассматриваться как разные проявления единого нечто, которое условно может быть названо абсолютом.

1. Ввиду однозначности динамических законов природы, будущее также однозначно как и прошлое. Не существует никаких случайных событий, случайность - это непознанная необходимость.

2. Время - это средство реализации причинно-следственных связей, а так как причина всегда предшествует следствию, то течение времени всегда однозначно и однонаправлено.

3. Перемещение во времени возможно только от причины к следствию. Поэтому перемещение в прошлое из будущего возможно только в том случае, если это перемещение исключает возможность какого-либо активного вмешательства в течение прошлого.

4. Вместе с тем возможно пассивное перемещение, как в прошлое, так и в будущее, при условии только наблюдения за

происходящим и невозможности активного воздействия на него. Возможно только пассивное созерцание картин происходившего и будущего.

5. Течение времени может происходить в разных координатных системах, не совпадающих друг с другом, однако переход из одной - в другую, не может привести к нарушению причинно-временных связей и однозначности будущего.

Детерминизм - учение о причинной материальной обусловленности природных, социальных и психических явлений. Сущностью детерминизма является идея о том, что все существующее в мире возникает и уничтожается закономерно, в результате действия определенных причин.
Индетерминизм - учение, отрицающее объективную причинную обусловленность явлений природы, общества и человеческой психики.
В современной физике идея детерминизма выражается в признании существования объективных физических закономерностей и находит свое более полное и общее отражение в фундаментальных физических теориях.
Фундаментальные физические теории (законы) представляют собой совокупность наиболее существенных знаний о физических закономерностях. Эти знания не являются исчерпывающими, но на сегодняшний день они наиболее полно отражают физические процессы в природе. В свою очередь, на основе тех или иных фундаментальных теорий формулируются частные физические законы типа закона Архимеда, закона Ома, закона электромагнитной индукции и т.д.
Ученые-науковеды едины во мнении, что основу любой физической теории составляют три главных элемента:
1) совокупность физических величин, с помощью которых описываются объекты данной теории (например, в механике Ньютона - координаты, импульсы, энергия, силы); 2) понятие состояния; 3) уравнения движения, то есть уравнения, описывающие эволюцию состояния рассматриваемой системы.
Кроме того, для решения проблемы причинности важное значение имеет подразделение физических законов и теорий на динамические и статистические (вероятностные).

Динамические и статистические теории

Одна из главных задач любой научной теории заключается в том, чтобы по заданному состоянию системы предсказать ее будущее или восстановить прошлое состояние. Однако, поскольку состояние системы можно описывать по-раз­но­му (пп. 3.4.1, 3.4.2, 3.5.3), различается и характер предсказаний. В этом отношении все теории можно разделить на два класса: динамические и статистические . В динамической теории состояние системы определяется значениями характеризующих ее физических величин. Соответственно, динамическая теория позволяет предсказывать значения физических величин, характеризующих систему.

Исторически первая научная теория - классическая механика - теория динамическая. Она стала образцом, по которому кроились другие разделы классического естествознания: термодинамика, электродинамика, теория относительности, теория химического строения, систематика живых существ… Сформировалось убеждение, что динамические теории несут наиболее фундаментальное знание.

Теория, в которой состояние системы определяется заданием вероятностей тех или иных значений физических величин, относится к статистическим теориям.

Статистическая теория позволяет предсказывать лишь вероятности тех или иных значений физических величин, характеризующих систему.

Первые статистические теории стали возникать в XIX веке: молекулярно-ки­не­ти­чес­кая теория и, более широко, статистическая механика в физике, дарвиновская теория эволюции (основанная на представлениях о неопределенной, то есть, случайной изменчивости), менделевская генетика. Большинство же ныне действующих статистических теорий появились уже в XX веке. Со статистическими теориями в естествознание вошло фундаментальное понятие флуктуации .

Флуктуация - это случайное отклонение характеристик системы
от наиболее вероятного или среднего значения.

Причины флуктуаций могут быть различными. Например, голубой цвет неба, в конечном счете, обусловлен тем, что количество молекул воздуха в заданном объеме не постоянно: оно все время колеблется вокруг среднего значения. Причина - беспорядочное тепловое движение молекул: в какой-то момент больше молекул покинет данный объем, чем влетит в него извне, а в следующий момент - наоборот. Нулевые колебания полей в физическом вакууме (п. 3.3.4) - это тоже флуктуации, но уже квантового происхождения. В биологии флуктуации скрываются за терминами «не­о­пре­де­лен­ная изменчивость», «му­та­ции»; здесь их основная причина - влияние множества неучитываемых факторов. Понятие флуктуации фактически ис­поль­зу­ет­ся и в социальных науках, когда говорится о субъ­ек­тив­ных факторах общественных процессов, роли личности в истории и т.д.

Динамические теории не учитывают (и не допускают возможности) флуктуаций; статистические - допускают, учитывают и даже выводят на передний план.

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, математическая модель эволюции реальной (физической, биологической, экономической и др.) системы, состояние которой в любой момент времени однозначно определяется её начальным состоянием.

Историческая справка . Основатели теории динамической системы - А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов. В конце 19 - начале 20 века они обнаружили и исследовали класс задач (в небесной механике, в теории фигур равновесия вращающейся жидкости и т.д.), в которых необходимо было знать поведение не одного отдельно взятого решения х(t) системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а всех (или очень многих) решений, соответствующих различным начальным состояниям реальной (например, физической) системы. В этом случае х(t) можно представить как кривую в пространстве всевозможных состояний (т. е. значений векторов х) и воспользоваться геометрическими свойствами этой кривой для понимания и описания свойств решения х(t). Такая кривая называется фазовой траекторией.

В 1-й трети 20 века теория динамической системы развивалась в работах ряда математиков. Наибольшее значение имели работы А. А. Андронова, который осознал и показал на важных примерах, что теория динамической системы эффективна для исследования нелинейных процессов в природе и в лаборатории. К этому времени стала понятна необходимость изучения нелинейных задач, так как линейный математический аппарат часто не в состоянии описать реальные процессы. Андронов описал автоколебания с помощью предельных циклов Пуанкаре и очертил контуры новой науки - нелинейной динамики. Вместе с Л. С. Понтрягиным он ввёл понятие грубой системы, нечувствительной к малым изменениям параметров. Такая система не меняет резко свойств при малых изменениях параметров, т. е. её состояния до и после изменения параметров топологически тождественны (эквивалентны). Грубые системы заполняют открытые области в функциональном пространстве всех динамических систем. Вне этих областей и, в частности, на их границах лежат негрубые системы. Проход через границу сопровождается бифуркацией - сменой структуры динамической системы. В семействе динамических систем, зависящих от параметра, зная структуру динамической системы при начальном значении параметра и все бифуркации, можно однозначно предсказать её структуру при конечном значении параметра.

Во 2-й половине 20 века Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, Р. Боуэн, Р. Мане, Я. Г. Синай, С. Смейл, С. Хаяси, Л. П. Шильников и др. развили идеи Андронова и создали глубокую и стройную теорию динамической системы, которая даёт верные представления о природе детерминистских процессов и позволяет исследовать модели реальных систем.

Характеристики динамической системы. Определение динамической системы включает в себя пространство состояний {х} и зависящий от времени t оператор (закон) эволюции φ t , по которому система из начального состояния х 0 приходит в состояние x t в момент времени t. Состояние динамической системы описывают набором переменных х, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. п. Множество состояний (фаз) динамической системы образует фазовое пространство, в котором каждому состоянию отвечает точка, а эволюция изображается движением точки по фазовой траектории - кривой, вложенной в фазовое пространство. Например, движение n частиц под действием сил притяжения описывается в фазовом пространстве множеством всех наборов координат и скоростей этих частиц, а оператор эволюции определяется решением соответствующей системы ОДУ.

Особенности эволюции системы проявляются в типе фазовых траекторий. В частности, состоянию равновесия динамической системы соответствует вырожденная траектория - точка в фазовом пространстве, периодическому движению - замкнутая кривая, квазипериодическому движению, имеющему в спектре m базовых частот, - кривая на m-мерном торе, вложенном в фазовое пространство. Стационарному режиму (установившемуся движению) диссипативной системы соответствует аттрактор - множество траекторий, притягивающих к себе все близкие траектории. Установившимся периодическим колебаниям соответствует предельный цикл - изолированная (в фазовом пространстве) замкнутая траектория; хаотическим автоколебаниям отвечает обычно странный аттрактор - притягивающее множество, состоящее из неустойчивых траекторий.

По характеру уравнений и методам исследований динамические системы делят на конечномерные (с конечномерным фазовым пространством) и бесконечномерные (распределённые). Конечномерные динамические системы можно подразделить на консервативные и диссипативные, что соответствует различной физической природе реальных систем. Консервативные динамические системы - это системы с сохраняющимся фазовым объёмом. Их образуют гамильтоновы системы с не зависящей от времени функцией Гамильтона. У диссипативных систем фазовый объём не сохраняется, в их фазовом пространстве существует ограниченная область (шар диссипации), в которую попадает навсегда точка на любой траектории.

Динамические системы можно также подразделить на системы с непрерывным и дискретным временем. Динамические системы с непрерывным временем задаётся обычно системой ОДУ х = f(х) (х - скалярная либо векторная величина, точкой обозначено дифференцирование по времени), в которой для каждой начальной точки х имеется единственное решение. Состояние равновесия х 0 такой динамической системы определяется из уравнения f(х 0) = 0. Поведение в окрестности состояния равновесия О зависит от свойств линеаризованной вблизи О системы, а именно от корней λ 1 , λ 2 ,.., λ n характеристического уравнения

где δ ij - символ Кронекера. Пусть Re λ j отрицательны для р и положительны для q корней, причём р + q = n. Если р = n (q = n), точка О называется устойчивым (неустойчивым) узлом. Близкие к этой точке в фазовом пространстве траектории притягиваются к ней в случае устойчивого узла, когда время t → +∞, а в случае неустойчивого узла - при t→ -∞. Если р≠0, q≠0, точка О называется седлом. Через неё проходят две поверхности: р-мерная W s O и q-мерная W u O , называемые устойчивым и неустойчивым многообразиями седла О, а также устойчивой и неустойчивой сепаратрисами. Эти поверхности образованы траекториями, стремящимися к О при t →+∞ и t → -∞ соответственно. Остальные траектории уходят из седла при t → ± ∞ (рис. 1).

Траектория, лежащая одновременно в W s O W u O (и не совпадающая с О), называется гомоклинической или петлёй сепаратрисы седла. В одномерных моделях непрерывной среды гомоклинической траектории отвечает стационарная бегущая волна в форме солитона.

Периодическое решение х = р(t) системы х = f(х) имеет следующее свойство: р(t) = р(t+Т) для любого t, где Т - период. Этому решению соответствует замкнутая траектория L в фазовом пространстве. Поведение траекторий в окрестности периодической траектории L характеризуется мультипликаторами γ 1 , ..., γ n , которые находятся с помощью решений линеаризованной на L системы. Один из них, например γ n , всегда равен 1. Если |γ i | < 1 (|γ i | > 1) для всех i = 1, 2, ..., n - 1, то траектория L устойчива (неустойчива). Если р мультипликаторов лежат внутри, а q - вне единичного круга в комплексной плоскости, р + q = n - 1, то L - траектория седлового типа. Она лежит в пересечении двух поверхностей: (р + 1)-мерной W s L и (q + 1)-мерной W u L (устойчивой и неустойчивой сепаратрис). Поверхность W s L (W u L) состоит из траекторий, стремящихся к L при t → +∞ (t →- ∞). При n = 3 и р = q=1 поверхность W s L (W u L) топологически эквивалентна цилиндру, если мультипликатор γ положителен и больше 1 (рисунок 2).

Поведение траекторий в окрестности L изучают, рассматривая их следы на (n - 1)-мерной поверхности D, пересекающей (без касания) L и близкие к ней траектории. Если точка m 0 на D достаточно близка к L, то траектория, проходящая через m 0 , пересекает D в другой точке m, называемой отображением последования (отображением Пуанкаре) (рис. 3).

Линеаризация отображения Пуанкаре в точке пересечения L с D описывается матрицей Якоби. Её собственные значения γ 1 , ..., γ n-1 являются мультипликаторами замкнутой траектории L.

Устойчивые и неустойчивые многообразия периодических траекторий могут пересекаться. Траектория, принадлежащая пересечению W s L и W u L и отличная от L, является гомоклинической. Если это пересечение происходит без касания, то в окрестности гомоклинической траектории имеется множество разнообразных неустойчивых траекторий, среди которых содержится бесконечное множество замкнутых траекторий седлового типа. Подобное множество траекторий типично для динамической системы с хаотической динамикой. Таким образом, наличие гомоклинической траектории может служить критерием существования хаотических режимов в динамической системе (смотри Динамический хаос).

Динамические системы с дискретным временем обычно задаются отображением G фазового пространства в себя: x n+1 = G(x n). Тогда эволюционный оператор φ t , t = m, - просто m раз применённое отображение G: φ n x=G(G(...G(x)...)). Например, простейшая модель динамики популяций описывает плотность числа членов (n + 1)-й генерации, х n+1 , как функцию числа х n предыдущей генерации: х n+1 = ах n - bх 2 n , а, b > 0 - параметры задачи. В зависимости от значений а и b эта динамическая система может демонстрировать либо регулярную (все аттракторы - периодические траектории), либо хаотическую динамику.

Отображение Пуанкаре фактически определяет систему с дискретным временем. Например, динамические системы, описывающие действие периодического возмущения на систему ОДУ, которые можно записать в виде х = f(х,θ), θ = ω, где f - периодическая по θ вектор-функция, всегда порождают отображение Пуанкаре. Для таких систем существует глобальная секущая поверхность Пуанкаре θ = 0, которую каждая траектория пересекает бесконечное число раз. Поведение траекторий в системе с непрерывным временем полностью определяется динамической системой с дискретным временем.

Важная часть теории динамической системы - эргодическая теория, которая описывает статистические свойства траекторий. Если они неустойчивы, точки на разных траекториях расходятся в процессе эволюции на существенное расстояние друг от друга, несмотря на близость начальных состояний, система демонстрирует «чувствительную зависимость» от начальных условий. (Заметим, что именно с неустойчивостью траекторий связана невозможность долгосрочного предсказания погоды.) Поскольку невозможно определить начальное состояние с бесконечной точностью (всегда существуют мельчайшие ошибки измерения или запоминания), необходимо изучать поведение не отдельных траекторий, а пучков траекторий, проходящих сквозь «пятно» начальных условий. Эти траектории могут обладать различными свойствами, и разнообразие этих свойств можно описать в терминах вероятностных распределений.

А. Пуанкаре первым высказал в качественной форме мысль, что при неустойчивости траекторий динамической системы речь может идти об их статистических свойствах такого же характера, какие к тому времени уже упоминались в работах Л. Больцмана и Дж. У. Гиббса по статистической механике. Подобные идеи были реализованы в эргодической теории и успешно осуществляют роль «моста» между детерминированным и случайным «мирами».

С помощью теории динамической системы изучены и объяснены многие нелинейные явления в природе и технике, такие как динамический хаос, синхронизация периодических и хаотических колебаний, образование диссипативных структур, пространственно-временной хаос в моделях распределённых систем, конкуренция мод в нейронных сетях мозга и т. д.

Лит.: Качественная теория динамических систем второго порядка. М., 1967; Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М., 1980; Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1985-1991. [Т. 1-9]: Динамические системы; Каток А., Хассельблатт Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999.

В. С. Афраймович, М. И. Рабинович.

Динамическая система - множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. [ ] Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний . Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.

Введение

Динамическая система представляет собой такую математическую модель некоего объекта, процесса или явления, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием . При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы - совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами , поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками , состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений , заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые - его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем - это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями . Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы ) и отталкивающих (репеллеры ) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем - устойчивость состояний равновесия (т.е. способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (т.е. сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели; «грубая система - это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой .

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Методы теории динамических систем востребованы в других разделах естествознания, таких как неравновесная термодинамика , теория динамического хаоса , синергетика .

Определение

Пусть X {\displaystyle X} - произвольное гладкое многообразие .

Динамической системой , заданной на гладком многообразии X {\displaystyle X} , называется отображение g: R × X → X {\displaystyle g\colon R\times X\to X} , записываемое в параметрическом виде g t (x) {\displaystyle g^{t}(x)} , где t ∈ R , x ∈ X {\displaystyle t\in R,x\in X} , которое является дифференцируемым отображением, причём g 0 {\displaystyle g^{0}} - тождественное отображение пространства X {\displaystyle X} . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство { g t: t ∈ R } {\displaystyle \{g^{t}:t\in R\}} образует группу преобразований топологического пространства X {\displaystyle X} , а значит, в частности, для любых t 1 , t 2 ∈ R {\displaystyle t_{1},t_{2}\in R} выполняется тождество g t 1 ∘ g t 2 = g t 1 + t 2 {\displaystyle g^{t_{1}}\circ g^{t_{2}}=g^{t_{1}+t_{2}}} .

Из дифференцируемости отображения g {\displaystyle g} следует, что функция g t (x 0) {\displaystyle g^{t}(x_{0})} является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве R × X {\displaystyle R\times X} и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство X {\displaystyle X} , которое носит название фазового пространства , называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство X {\displaystyle X} , множество моментов времени T {\displaystyle T} и некоторое правило , описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T {\displaystyle T} может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно ), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство X {\displaystyle X} представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка x {\displaystyle x} фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости v (x) {\displaystyle v(x)} . Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения d x d t = v (x) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)} с начальным условием x (0) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады

Пусть X {\displaystyle X} - произвольное множество, и f: X → X {\displaystyle f\colon X\to X} - некоторое отображение множества X {\displaystyle X} на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством X {\displaystyle X} и множеством моментов времени T = N {\displaystyle T=\mathbb {N} } . Действительно, будем считать, что произвольная точка x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} за время 1 {\displaystyle 1} переходит в точку x 1 = f (x 0) ∈ X {\displaystyle x_{1}=f(x_{0})\in X} . Тогда за время 2 {\displaystyle 2} эта точка перейдет в точку x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) {\displaystyle x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))} и т. д.

Если отображение f {\displaystyle f} обратимо, можно определить и обратные итерации : x − 1 = f − 1 (x 0) {\displaystyle x_{-1}=f^{-1}(x_{0})} , x − 2 = f − 1 (f − 1 (x 0)) {\displaystyle x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_{0}))} и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени T = Z {\displaystyle T=\mathbb {Z} } .

Примеры

• Система дифференциальных уравнений

{ d x d t = v d v d t = − k x {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cases}}}

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость (x , v) {\displaystyle (x,v)} , где v {\displaystyle v} - скорость точки x {\displaystyle x} . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы - например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

Вопросы теории динамических систем

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

1. Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
2. Как устроены инвариантные многообразия системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?
3. Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
4. Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек - остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
Ссылки

Главной областью реального применения современной математики было и остается математическое моделирование. А то, что пытается моделировать математика в рамках развития физики, химии и инженерии, становится все более сложным и многоплановым. В частности, одним из самых важных моментов в становлении моделирования сложных процессов и система стало появления понятия и теории динамической системы.

Динамические системы в целом называют математическими абстракциями, которые предназначены для того, чтобы описывать эволюции определенных процессов во времени. Это модель некоторых объектов, явлений, процессов, которые разворачиваются во времени.

Часто динамические системы, изучаемые этой теорией, представляют как системы, которые обладают состоянием. В таком случае можно рассматривать динамическую систему как такую, которая описывает динамику какого-то процесса перехода системы от одного состояния к другому. Отсюда логически возникает определение фазового пространства системы, т.е. совокупности всех состояний, которые для нее являются допустимыми. В общем динамические системы в математической теории характеризуются двумя главными факторами: начальным состоянием системы и тем законом, по которому она переходит из этого состояния в следующие. Многие математические материалы сейчас находятся в электронном виде, они были переведы при помощи услуги сканирования и распознания текста.

Дальнейшее развитие теории привело к созданию различения систем, которые описываются так называемым дискретным временем и систем с непрерывным течением времени. Те, которые связаны с дискретным временем, получили названием каскадов, у них поведение систем может быть описано через последовательность состояний. Для систем непрерывного времени, которые еще называют потоками, их состояние может быть определено для каждого отдельного момента на комплексной или вещественной оси.

Таким образом, постепенно вследствие развития теория появились символическая и топологическая динамики, которые и изучают вышеописанные явления более подробно. С практической точки зрения динамические системы с любым типом времени чаще всего могут быть адекватно описаны с помощью автономных систем дифференциальных уравнений, которые задаются в некоторой области, и которые должны удовлетворять условиям теоремы существования и единственности для решения дифференциальных уравнений.

Теория динамических систем в целом занимается, фактически, исследованием кривых, которые образуются подобными дифференциальными уравнениями. В рамках таких исследований проводится разбиение фазового пространства системы на траектории и дальнейшее исследование возможного поведения этих траекторий, а также классификация возможных положений равновесия и выделения так называемых притягивающих и отталкивающих множеств, которые ими управляют (аттракторов и репеллеров).