Как обозначают рациональные числа. Числа

)- это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n , где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3 .

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

a/b , где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b ∈ N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например , тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел.

Основные свойства рациональных чисел.

1. Упорядоченность a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:

2 положительных числа a=m a /n a и b=m b /n b связаны тем же отношением, что и 2 целых числа m a ⋅ n b и m b ⋅ n a ;
2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a| ;
когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b .

∀ a,b ∈ Q (a∨ a>b ∨ a=b)

2. Операция сложения . Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования , которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b) суммирование .

Правило суммирования выглядит так:

m a /n a +m b /n b =(m a ⋅ n b +m b ⋅ n a) /(n a ⋅ n b).

∀ a,b ∈ Q ∃ !(a+b) ∈ Q

3. Операция умножения . Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения , оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c . Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b) , а процесс нахождения этого числа называют умножение .

Правило умножения выглядит так: m a n a ⋅ m b n b =m a ⋅ m b n a ⋅ n b .

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c .

∀ a,b,c ∈ Q (a∧ b⇒ a∧ (a = b ∧ b = c ⇒ a = c)

5. Коммутативность сложения . От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a+b=b+a

6. Ассоциативность сложения . Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наличие нуля . Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

∃ 0 ∈ Q ∀ a ∈ Q a+0=a

8. Наличие противоположных чисел . У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

∀ a ∈ Q ∃ (−a) ∈ Q a+(−a)=0

9. Коммутативность умножения . От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a ⋅ b=b ⋅ a

10. Ассоциативность умножения . Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

∀ a,b,c ∈ Q (a ⋅ b) ⋅ c=a ⋅ (b ⋅ c)

11. Наличие единицы . Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

∃ 1 ∈ Q ∀ a ∈ Q a ⋅ 1=a

12. Наличие обратных чисел . Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

∀ a ∈ Q ∃ a−1 ∈ Q a ⋅ a−1=1

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения . Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

∀ a,b,c ∈ Q (a+b) ⋅ c=a ⋅ c+b ⋅ c

14. Связь отношения порядка с операцией сложения . К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q a⇒ a+c

15. Связь отношения порядка с операцией умножения . Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q c>0 ∧ a⇒ a ⋅ c⋅ c

16. Аксиома Архимеда . Каким бы ни было рациональное число a , легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a .

Данная статья посвящена изучению темы "Рациональные числа". Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби a b , отрицательной обыкновенной дроби - a b или числа ноль.

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1 n .
Любое целое число, включая число 0 , является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь a b является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом.
Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5 , 105 , 358 , 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа - 2 , - 358 , - 936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 3 5 , 8 7 , - 35 8 также являются примерами рациональных чисел.

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациональные числа

Рациональные числа - это такие числа, которые можно представить в виде дроби ± z n , где z - целое число, n - натуральное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Таким образом, можно записать:

z n = z n , п р и z > 0 0 , п р и z = 0 - z n , п р и z < 0

Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 и - 1 3 5 . Все эти числа являются рациональными, так как их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Определение 3. Рациональные числа

Рациональное число - это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель - натуральным числом.
Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос "рационально ли число?" является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения - рациональное число.

Например, значение выражения 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) является рациональным числом и равно 18 .

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

Оказывается, что число m n , заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n -ой степенью какого-то натурального числа.

Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9 , 81 - рациональные числа. 9 и 81 - полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199 , 28 , 15 1 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел.

Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 243 5 ? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243 , поэтому исходное выражение можно переписать так: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 121 5 . Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121 .

Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log 2 5 . Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log 2 5 = m n .По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.

Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2 · 2 = 2 .

Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2 log 2 3 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2 log 2 3 = 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков.

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ...

Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: , где m, n - целые числа;

Дроби со знаменателем 10n , где n - целое число, называются десятичными : .

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби : - чистая периодическая дробь, - смешанная периодическая дробь.

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа .

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел . Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - введение действительных (вещественных) чисел - присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре - при извлечении корней , примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e .

Числа натуральные (1, 2, 3,...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рациональные (представимые в виде дроби) и иррациональные (не представимые в виде дроби) образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Отдельно в математике выделяют комплексные числа.

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: z=a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Свойства:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0i или a – 0i . Например 5 + 0i и 5 – 0i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Действия:

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d )i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c ) + (b – d )i . Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

(ac – bd ) + (ad + bc )i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.

П р и м е р. (a+ bi )(a – bi )= a 2 + b 2 . Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi . Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i и выполнив все преобразования, получим:

Задание 1: Сложите, вычтите, умножьте и разделите z 1 на z 2

Извлечение корня квадратного: Реши уравнение x 2 = -a. Для решения данного уравнения мы вынуждены воспользоваться числами нового типа – мнимые числа . Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным . Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу :

Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Задание 2: Реши уравнение:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B –число 2, и O –ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b . Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или) буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

е
диницу по действительной оси; Re z

мнимую единицу по мнимой оси. Im z

Задание 3. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , , , , ,

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 - точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяженность.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата;

3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

2. Округление. Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Покажем это на примерах. Округлить:

а) до десятых 12,34;

б) до сотых 3,2465; 1038,785;

в) до тысячных 3,4335.

г) до тысяч 12375; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 * .

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом Δa . Запись

x ≈a (±Δa )

следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числамиа – Δa иа + Δа , которые называют соответственно нижней и верхней границейх и обозначают НГx ВГх .

Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2<x < 2,4.

Наоборот, если 7,3< х < 7,4, тох ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояниех между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случаех ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная

В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1 .
Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .
Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3 .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Является ли данное число рациональным?

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.

Список литературы.

Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Как мы уже видели, множество натуральных чисел

замкнуто относительно сложения и умножения, а множество целых чисел

замкнуто относительно сложения, умножения и вычитания. Однако ни одно из этих множеств не замкнуто относительно деления, поскольку деление целых чисел может привести к дробям, как, например, в случаях 4/3, 7/6, -2/5 и т.д. Совокупность всех таких дробей образует множество рациональных чисел. Таким образом, рациональное число (рациональная дробь) есть такое число, которое можно представить в виде , где а и d - целые числа, причем d не равно нулю. Сделаем по поводу этого определения несколько замечаний.

1) Мы потребовали, чтобы d было отлично от нуля. Это требование (математически записываемое неравенством ) необходимо, поскольку здесь d является делителем. Рассмотрим следующие примеры:

Случай 1. .

Случай 2. .

В случае 1 d является делителем в смысле предыдущей главы, т. е. 7 есть точный делитель 21, В случае 2 d по-прежнему является делителем, но уже в другом смысле, поскольку 7 не есть точный делитель 25.

Если 25 назвать делимым, а 7 - делителем, то мы получим частное 3 и остаток 4. Итак, слово делитель используется здесь в более общем смысле и применимо к большему числу случаев, чем в гл. I. Однако в случаях, подобных случаю 1, должно оставаться применимым понятие делителя, введенное в гл. I; поэтому необходимо, как и в гл. I, исключить возможность d = 0.

2) Отметим, что, в то время как выражения рациональное число и рациональная дробь являются синонимами, само по себе слово дробь используется для обозначения любого алгебраического выражения, состоящего из числителя и знаменателя, как, например,

3) В определение рационального числа входит выражение «число, которое можно представить в виде , где а и d - целые числа и . Почему его нельзя заменить выражением «число вида , где а и d - целые числа и Причиной этому является то обстоятельство, что существует бесконечно много способов выражения одной и той же дроби (например, 2/3 можно также записать, как 4/6, 6/9, или или 213/33, или и т. п.), и нам желательно, чтобы наше определение рационального числа не зависело от частного способа его выражения.

Дробь определяется таким образом, что ее значение не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число. Однако не всегда можно сказать, просто посмотрев на данную дробь, является она рациональной или нет. Рассмотрим, например, числа

Ни одно из них в выбранной нами записи не имеет вида , где а и d - целые числа.

Мы можем, однако, произвести над первой дробью ряд арифметических преобразований и получить

Таким образом, мы приходим к дроби, равной исходу ной дроби, для которой . Число следовательно, рационально, но оно не было бы рациональным, если бы определение рационального числа требовало бы, чтобы число имело вид а/b, где а и b - целые числа. В случае дроби преобразования

приводят к числу . В последующих главах мы узнаем, что число не может быть представлено как отношение двух целых чисел и, следовательно, оно не рационально или, как говорят, иррационально.

4) Отметим, что всякое целое число рационально. Как мы только что видели, это верно в случае числа 2. В общем случае произвольных целых чисел можно, аналогично, приписать каждому из них знаменатель, равный 1, и получить их представление в виде рациональных дробей.