Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.
Большинство пространственных фигур представляют собой абстракцию различных предметов. Изучение стереометрии включает не только усвоение некоторых фактов и понятий, но владение математическими методами, которые применяются для обоснования этих фактов. Обратим внимание на структуру стереометрии, как учебного курса. Стереометрия строится следующим образом:
- перечисляются исходные понятия, которые принимаются без определения;
- приводится список аксиом;
- при помощи исходных понятий даются определения другим геометрическим понятиям;
- на основании аксиом и определений доказываются теоремы.
Исходными понятиями стереометрии являются следующих три понятия: «точка», «расстояние между точками», «плоскость». С их помощью определяются и другие понятия стереометрии. Определить понятие (дать ему определение) – это значит указать его существенные, характерные особенности, указать признаки. Некоторые из этих признаков являются признаками сходства и устанавливают связь данного понятия с другими, уже известными понятиями; иные – признаки различия, указывающие на особенные свойства данных понятий.
Исходным геометрическим понятием непосредственно определение не даётся. Их нельзя свести и каким-либо другим понятиям в принятой системе изложения. Но это не значит, что они остаются совершенно неопределёнными. Они обозначаются косвенно, через перечисление некоторых признаков и свойств в аксиомах. С помощью аксиом логическим путём выводятся другие свойства геометрических понятий. Утверждения такого рода называются теоремами, а рассуждения, в ходе которых они устанавливаются – доказательствами.
Приведём некоторые обозначения, применяемые в стереометрии:
α, β, γ, … – обозначения плоскостейα, β, γ…;
А, В, С,… – точки;
а, b, с,… – прямые;
А = В, а = b, α = β – точки А и В совпадают, прямые а и b совпадают, плоскости α и β совпадают;
А ≠ В, а ≠ b, α ≠ β – точки А и В не совпадают, прямые а и b не совпадают, плоскости α и β не совпадают;
А Є а, А Є α – точка А принадлежит прямой а, точка А принадлежит плоскости α;
А Ȼ а, А Ȼ α – точка А не принадлежит прямой а, точка А не принадлежит плоскости α.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
На этом уроке мы дадим определение геометрии как науке и ее подразделам: планиметрии и стереометрии. Дадим определение геометрических фигур и рассмотрим основные геометрические фигуры. Далее мы рассмотрим геометрические обозначения фигур и три основных аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве и решим несколько простых задач на их применение.
А, В, С, D - точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.
АВ = , CD = b - прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.
Плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).
Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В . Прямая может быть также обозначена как АВ .
Рассмотрим прямую b , на ней лежат точки С и D . Прямая b может быть также обозначена как СD .
Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.
Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .
Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .
Аксиомы стереометрии.
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Пояснение к аксиоме А1.
Рассмотрим три точки: А, В, С , причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.
Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
Пояснение к аксиоме А2.
Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).
Аксиома утверждает - все точки прямой (прямой АВ ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.
Эту аксиому можно записать следующим образом:
Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.
Если у прямой и плоскости одна общая точка М , то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
Задания 2, 4 на стр. 9.
Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.
2. Дан куб .
В каких плоскостях лежат прямые:
б) AC 1
3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости
а) ABC и ABB 1
б) DCC 1 и BB 1 C .
Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур). Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» - телесный, пространственный и «метрео» - измеряю.
Не нужно путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (т.е. свойства плоских фигур), а в стереометрии – свойства фигур в пространстве (т.е. свойства пространственных фигур).
Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.
Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 1–10). Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми (рис. 1) и невыпуклыми (рис. 2). Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань. (Мы будем изучать только выпуклые многогранники.)
Приведем примеры отдельных многогранников.
Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они - равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (рис. 3).
Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них - параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (рис. 4) или наклонным (рис. 5).
Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, называют прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед изображается также, как и прямой. Из сказанного следует, что куб - это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
n-угольная пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, - некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней - треугольники с общей вершиной (рис. 6). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а боковые ребра равны между собой, называется правильной пирамидой (рис. 7). Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой или тетраэдром. Таким образом, тетраэдр - это четырехгранник. Все его четыре грани - треугольники. Тетраэдр, все четыре грани которого - равные правильные треугольники, называется правильным тетраэдром (рис. 8). Правильный тетраэдр - это частный случай правильной треугольной пирамиды.
n-угольная призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, - равные n-угольники, а все остальные n граней - параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (рис. 9) или наклонной (рис. 10). У прямой призмы все боковые грани - прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань - параллелограмм, не являющийся прямоугольником.
Параллелепипед - это призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр.
Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки - центра шара - не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара.
Шар и куб - примеры геометрических тел, сфера и плоскость - примеры поверхностей.
"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"
Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. |
|
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, |
Аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. |
|
Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). |
|
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. |
|
Аксиома 3. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. |
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. |
|
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. |
Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. |
|
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. |
|
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥c и b ∥c , то a ∥b ). |
Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. |
|
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. |
Взаимное расположение прямых в пространстве
Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. |
Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) |
Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) |
Стереометрия
Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» - «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» - «измеряю») - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.
Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии - свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).
Аксиомы стереометрии
- На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
- В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
- Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
- Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
- Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
- Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
- Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
- любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
- любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
- Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.
Многогранник
Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.
Литература
- В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989.
- И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. - 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).
интегральные уравнения
- Портал «Математика»
- Категория «Математика»
Какие основные понятия и аксиомы стереометрии
Грустный мир
А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.
Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.
Юрий малихов
Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы:
1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна.
2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.
Алексей рябчиков
В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет."
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.