Accelerazione centripeta- componente dell'accelerazione di un punto, che caratterizza la velocità di cambiamento nella direzione del vettore velocità per una traiettoria con curvatura (la seconda componente, l'accelerazione tangenziale, caratterizza il cambiamento nel modulo di velocità). Diretto verso il centro di curvatura della traiettoria, da cui deriva il termine. Il valore è pari al quadrato della velocità diviso per il raggio di curvatura. Il termine "accelerazione centripeta" equivale al termine " accelerazione normale" Quella componente della somma delle forze che provoca questa accelerazione è chiamata forza centripeta.
L'esempio più semplice di accelerazione centripeta è il vettore accelerazione durante il movimento uniforme in un cerchio (diretto verso il centro del cerchio).
Rapida accelerazione nella proiezione su un piano perpendicolare all'asse appare centripeto.
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A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) un n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\,)
Dove un n (\displaystyle a_(n)\ )- accelerazione normale (centripeta), v (\displaystyle v\ )- velocità lineare (istantanea) del movimento lungo la traiettoria, ω (\displaystyle \omega \ )- velocità angolare (istantanea) di questo movimento rispetto al centro di curvatura della traiettoria, R (\displaystyle R\ )- raggio di curvatura della traiettoria in un dato punto. (Il nesso tra la prima formula e la seconda è ovvio, dato v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Le espressioni sopra includono valori assoluti. Possono essere facilmente scritti in forma vettoriale moltiplicando per e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vettore unitario dal centro di curvatura della traiettoria al suo punto dato:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) un n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)Queste formule sono ugualmente applicabili al caso di moto con velocità costante (in valore assoluto) e ad un caso arbitrario. Nella seconda, però, bisogna tenere presente che l'accelerazione centripeta non è il vettore accelerazione completo, ma solo la sua componente perpendicolare alla traiettoria (o, che è lo stesso, perpendicolare al vettore velocità istantanea); il vettore accelerazione totale comprende quindi anche una componente tangenziale ( accelerazione tangenziale) un τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), nella direzione coincidente con la tangente alla traiettoria (o, che è lo stesso, con la velocità istantanea).
Motivazione e conclusione
Che la scomposizione del vettore accelerazione in componenti - una tangente alla traiettoria del vettore (accelerazione tangenziale) e l'altra ortogonale ad essa (accelerazione normale) - possa essere conveniente ed utile è di per sé abbastanza ovvio. Quando ci si sposta con una velocità di modulo costante, la componente tangenziale diventa pari a zero, cioè in questo importante caso particolare rimane soltanto componente normale. Inoltre, come si può vedere di seguito, ciascuno di questi componenti ha proprietà e struttura chiaramente definite e l'accelerazione normale contiene un contenuto geometrico abbastanza importante e non banale nella struttura della sua formula. Per non parlare dell'importante caso speciale del movimento circolare.
Conclusione formale
La scomposizione dell'accelerazione in componenti tangenziale e normale (la seconda delle quali è l'accelerazione centripeta o normale) può essere trovata differenziando rispetto al tempo il vettore velocità, presentato nella forma v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) attraverso il vettore tangente unitario e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( N)\ ,)Qui usiamo la notazione per il vettore unitario normale alla traiettoria e l (\displaystyle l\ )- per la lunghezza della traiettoria attuale ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); anche l'ultima transizione utilizza l'ovvio d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).
v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )Accelerazione normale (centripeta). Inoltre, il suo significato, il significato degli oggetti in esso contenuti, nonché la prova del fatto che è effettivamente ortogonale al vettore tangente (cioè che e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- in realtà un vettore normale) - seguirà da considerazioni geometriche (il fatto però che la derivata di un qualsiasi vettore di lunghezza costante rispetto al tempo sia perpendicolare a questo vettore stesso è un fatto abbastanza semplice; in questo caso applichiamo questa affermazione a d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Appunti
È facile notare che il valore assoluto dell'accelerazione tangenziale dipende solo dall'accelerazione del suolo, coincidendo con il suo valore assoluto, a differenza del valore assoluto dell'accelerazione normale, che non dipende dall'accelerazione del suolo, ma dipende dalla velocità al suolo.
I metodi qui presentati, o varianti degli stessi, possono essere utilizzati per introdurre concetti come la curvatura di una curva e il raggio di curvatura di una curva (poiché nel caso in cui la curva è un cerchio, R coincide con il raggio di tale cerchio; non è troppo difficile dimostrare che il cerchio è nel piano e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) con centro in direzione e n (\displaystyle e_(n)\ ) da un dato punto a distanza R da esso - coinciderà con la curva data - traiettoria - fino al secondo ordine di piccolezza nella distanza dal punto dato).
Storia
Il primo a ottenere le formule corrette per l'accelerazione centripeta (o forza centrifuga) fu, a quanto pare, Huygens. Quasi da questo momento in poi, la considerazione dell'accelerazione centripeta è diventata parte della tecnica abituale per risolvere problemi meccanici, ecc.
Un po' più tardi, queste formule hanno avuto un ruolo significativo nella scoperta della legge di gravitazione universale (la formula dell'accelerazione centripeta è stata utilizzata per ottenere la legge della dipendenza della forza gravitazionale dalla distanza dalla sorgente di gravità, basata sulla terza legge di Keplero derivato da osservazioni).
Nel 19° secolo, la considerazione dell'accelerazione centripeta era diventata del tutto di routine sia per la scienza pura che per le applicazioni ingegneristiche.
Definizione
Accelerazione centripeta chiamato la componente dell'accelerazione totale di un punto materiale che si muove lungo un percorso curvo, che determina la velocità di cambiamento nella direzione del vettore velocità.
Un'altra componente dell'accelerazione totale è l'accelerazione tangenziale, che è responsabile della variazione di velocità. Denota accelerazione centripeta, solitamente $(\overline(a))_n$. L'accelerazione centripeta è anche chiamata accelerazione normale.
L'accelerazione centripeta è uguale a:
\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\destra),\]
dove $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ è il versore diretto dal centro di curvatura della traiettoria al punto in questione; $r$ è il raggio di curvatura della traiettoria nella posizione del punto materiale nell'istante considerato.
H. Huygens fu il primo a ottenere le formule corrette per il calcolo dell'accelerazione centripeta.
L'unità di misura dell'accelerazione centripeta del Sistema Internazionale di Unità è il metro diviso per il secondo quadrato:
\[\left=\frac(m)(s^2).\]
Formula per l'accelerazione centripeta del moto uniforme di un punto in una circonferenza
Consideriamo il moto uniforme di un punto materiale lungo una circonferenza. Con tale movimento la velocità del punto materiale rimane invariata ($v=const$). Ma questo non significa che l'accelerazione totale di un punto materiale con questo tipo di movimento sia zero. Il vettore velocità istantanea è diretto tangenzialmente al cerchio lungo il quale si muove il punto. Di conseguenza, in questo movimento la velocità cambia costantemente direzione. Ne consegue che il punto ha accelerazione.
Consideriamo i punti A e B che giacciono sulla traiettoria della particella. Troviamo il vettore di variazione della velocità per i punti A e B come:
\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]
Se il tempo impiegato per spostarsi dal punto A al punto B tende a zero, allora l'arco AB non differisce molto dalla corda AB. I triangoli AOB e BMN sono simili, otteniamo:
\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \sinistra(3\destra).\]
L'entità del modulo di accelerazione media è determinata come:
\[\sinistra\langle a\destra\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\sinistra(4\destra).\]
Spostiamoci al limite in $\Delta t\to 0\ $ da $\left\langle a\right\rangle \ \ $nella formula (4):
Il vettore accelerazione media forma un angolo uguale al vettore velocità:
\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\sinistra(6\destra).\]
A $\Delta t\to 0\ $ angolo $\alpha \to 0.$ Risulta che il vettore accelerazione istantanea forma un angolo $\frac(\pi )(2)$ con il vettore velocità.
E affinché un punto materiale che si muove uniformemente attorno a un cerchio abbia un'accelerazione diretta verso il centro del cerchio ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), il suo valore è uguale alla velocità quadrato diviso per il raggio cerchi:
dove $\omega $ è la velocità angolare del punto materiale ($v=\omega \cdot R$). In forma vettoriale, la formula per l'accelerazione centripeta può essere scritta in base alla (7) come:
\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]
dove $\overline(R)$ è il raggio vettore, uguale in lunghezza al raggio dell'arco circolare, diretto dal centro di curvatura alla posizione del punto materiale in esame.
Esempi di problemi con soluzioni
Esempio 1
Esercizio. Equazione vettoriale $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, dove $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ descrive il moto di un punto materiale. Quale traiettoria sta seguendo questo punto? Qual è l'entità della sua accelerazione centripeta? Considera tutte le quantità nel sistema SI.
Soluzione. Consideriamo l'equazione del moto di un punto:
\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \sinistra(1.1\destra).\]
Nel sistema di coordinate cartesiane, questa equazione è equivalente al sistema di equazioni:
\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array) \left(1.2\right).\right.\]
Per capire su quale traiettoria si muove il punto dovremmo escludere il tempo dalle equazioni del sistema (1.2). Per fare ciò, eleviamo al quadrato entrambe le equazioni e le sommiamo:
Dall'equazione (1.3) vediamo che la traiettoria del punto è una circonferenza (Fig. 2) di raggio $R=1$ m.
Per trovare l'accelerazione centripeta utilizziamo la formula:
Determiniamo il modulo di velocità utilizzando il sistema di equazioni (1.2). Troviamo le componenti della velocità uguali a:
\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]
Il quadrato del modulo velocità sarà uguale a:
Dal modulo di velocità risultante (1.6), vediamo che il nostro punto si muove uniformemente attorno al cerchio, quindi l'accelerazione centripeta coinciderà con l'accelerazione totale.
Sostituendo $v^2$ dalla (1.6) nella formula (1.4), abbiamo:
Calcoliamo $a_n$:
$a_n=\frac(4)(1)=4\ \sinistra(\frac(m)(s^2)\destra).$
Risposta. 1) Cerchio; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$
Esempio 2
Esercizio. Qual è l'accelerazione centripeta dei punti sul bordo del disco in un tempo pari a $t=2$c, se il disco ruota secondo l'equazione: $\varphi (t)=3+2t^3$? Il raggio del disco è $R=0,(\rm 1)$ m.
Soluzione. Cercheremo l'accelerazione centripeta dei punti sul disco utilizzando la formula:
Troviamo la velocità angolare utilizzando l'equazione $\varphi (t)=3+2t^3$ come:
\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]
Per $t=2\ $c la velocità angolare è pari a:
\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]
Puoi calcolare l'accelerazione centripeta usando la formula (2.1):
Risposta.$a_n=57,6\frac(m)(s^2)$
Poiché la velocità lineare cambia direzione in modo uniforme, il movimento circolare non può essere definito uniforme, ma è uniformemente accelerato.
Velocità angolare
Scegliamo un punto sul cerchio 1 . Costruiamo un raggio. In un'unità di tempo, il punto si sposterà in un punto 2 . In questo caso il raggio descrive l'angolo. La velocità angolare è numericamente uguale all'angolo di rotazione del raggio per unità di tempo.
Periodo e frequenza
Periodo di rotazione T- questo è il momento durante il quale il corpo fa una rivoluzione.
La frequenza di rotazione è il numero di giri al secondo.
Frequenza e periodo sono correlati dalla relazione
Relazione con la velocità angolare
Velocità lineare
Ogni punto del cerchio si muove ad una certa velocità. Questa velocità è chiamata lineare. La direzione del vettore velocità lineare coincide sempre con la tangente al cerchio. Ad esempio, le scintille da sotto una rettificatrice si muovono, ripetendo la direzione della velocità istantanea.
Considera un punto su un cerchio che fa una rivoluzione, il tempo impiegato è il periodo T. Il percorso percorso da un punto è la circonferenza.
Accelerazione centripeta
Quando ci si muove in circolo, il vettore accelerazione è sempre perpendicolare al vettore velocità, diretto verso il centro del cerchio.
Utilizzando le formule precedenti, possiamo ricavare le seguenti relazioni
I punti che giacciono sulla stessa linea retta proveniente dal centro del cerchio (ad esempio, potrebbero essere punti che giacciono sui raggi di una ruota) avranno le stesse velocità angolari, periodo e frequenza. Cioè ruoteranno allo stesso modo, ma con velocità lineari diverse. Più un punto è lontano dal centro, più velocemente si sposterà.
La legge della somma delle velocità vale anche per il moto rotatorio. Se il moto di un corpo o di un sistema di riferimento non è uniforme, la legge si applica alle velocità istantanee. Ad esempio, la velocità di una persona che cammina lungo il bordo di una giostra rotante è uguale alla somma vettoriale della velocità lineare di rotazione del bordo della giostra e della velocità della persona.
La Terra partecipa a due principali movimenti rotazionali: diurno (attorno al proprio asse) e orbitale (attorno al Sole). Il periodo di rotazione della Terra attorno al Sole è di 1 anno o 365 giorni. La Terra ruota attorno al proprio asse da ovest a est, il periodo di questa rotazione è di 1 giorno o 24 ore. La latitudine è l'angolo tra il piano dell'equatore e la direzione dal centro della Terra a un punto sulla sua superficie.
Secondo la seconda legge di Newton la causa di ogni accelerazione è la forza. Se un corpo in movimento sperimenta un'accelerazione centripeta, la natura delle forze che causano questa accelerazione potrebbe essere diversa. Ad esempio, se un corpo si muove in circolo su una corda ad esso legata, la forza agente è la forza elastica.
Se un corpo che giace su un disco ruota con il disco attorno al proprio asse, tale forza è la forza di attrito. Se la forza interrompe la sua azione, il corpo continuerà a muoversi in linea retta
Considera il movimento di un punto su un cerchio da A a B. La velocità lineare è uguale a vA E vB rispettivamente. L'accelerazione è la variazione di velocità per unità di tempo. Troviamo la differenza tra i vettori.
Due raggi che emanano da esso formano un angolo. Il suo valore può essere definito sia in radianti che in gradi. Ora, a una certa distanza dal punto centrale, disegniamo mentalmente un cerchio. La misura dell'angolo, espressa in radianti, è quindi il rapporto matematico tra la lunghezza dell'arco L, separato da due raggi, e il valore della distanza tra il punto centrale e la linea del cerchio (R), ovvero:
Se ora immaginiamo il sistema descritto come materiale, allora possiamo applicargli non solo il concetto di angolo e raggio, ma anche di accelerazione centripeta, rotazione, ecc. La maggior parte di essi descrive il comportamento di un punto situato su un cerchio rotante. A proposito, un disco solido può anche essere rappresentato da una serie di cerchi, la cui differenza sta solo nella distanza dal centro.
Una delle caratteristiche di un tale sistema rotante è il suo periodo orbitale. Indica il valore temporale durante il quale un punto su un cerchio arbitrario tornerà nella sua posizione iniziale o, il che è anche vero, ruoterà di 360 gradi. A velocità di rotazione costante è soddisfatta la corrispondenza T = (2*3,1416) / Ug (di seguito Ug è l'angolo).
La velocità di rotazione indica il numero di giri completi eseguiti in 1 secondo. A velocità costante otteniamo v = 1 / T.
Dipende dal tempo e dal cosiddetto angolo di rotazione. Cioè, se prendiamo come origine un punto arbitrario A sul cerchio, quando il sistema ruota, questo punto si sposterà su A1 nel tempo t, formando un angolo tra i raggi A-centro e A1-centro. Conoscendo il tempo e l'angolo, puoi calcolare la velocità angolare.
E poiché c'è cerchio, movimento e velocità, significa che è presente anche l'accelerazione centripeta. Rappresenta una delle componenti che descrivono il movimento nel caso del movimento curvilineo. I termini "normale" e "accelerazione centripeta" sono identici. La differenza è che il secondo viene utilizzato per descrivere il movimento circolare quando il vettore accelerazione è diretto verso il centro del sistema. Pertanto è sempre necessario sapere esattamente come si muove il corpo (punto) e la sua accelerazione centripeta. La sua definizione è la seguente: è il tasso di variazione della velocità, il cui vettore è diretto perpendicolarmente alla direzione del vettore e cambia la direzione di quest'ultimo. L'enciclopedia afferma che Huygens ha studiato questo problema. La formula per l'accelerazione centripeta da lui proposta è simile a:
Acs = (v*v) / r,
dove r è il raggio di curvatura del percorso percorso; v - velocità di movimento.
La formula utilizzata per calcolare l'accelerazione centripeta provoca ancora un acceso dibattito tra gli appassionati. Ad esempio, recentemente è stata espressa una teoria interessante.
Huygens, considerando il sistema, è partito dal fatto che il corpo si muove in un cerchio di raggio R con una velocità v misurata nel punto iniziale A. Poiché il vettore d'inerzia è diretto lungo, si ottiene una traiettoria sotto forma di una linea retta AB. Tuttavia, la forza centripeta mantiene il corpo sul cerchio nel punto C. Se segniamo il centro come O e tracciamo le linee AB, BO (la somma di BS e CO), così come AO, otteniamo un triangolo. Secondo la legge di Pitagora:
BS=(a*(t*t)) / 2, dove a è l'accelerazione; t - tempo (a*t*t è la velocità).
Se ora usiamo la formula pitagorica, allora:
R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, dove R è il raggio e l'ortografia alfanumerica senza il segno di moltiplicazione è il grado.
Huygens ha ammesso che, poiché il tempo t è piccolo, può essere ignorato nei calcoli. Trasformando la formula precedente si arrivò alla nota Acs = (v*v) / r.
Tuttavia, poiché il tempo viene preso al quadrato, si verifica una progressione: maggiore è t, maggiore è l'errore. Ad esempio, per 0,9 quasi il valore totale del 20% non viene contabilizzato.
Il concetto di accelerazione centripeta è importante per la scienza moderna, ma ovviamente è troppo presto per porre fine a questo problema.
Ci permette di esistere su questo pianeta. Come possiamo capire cos'è l'accelerazione centripeta? La definizione di questa quantità fisica è presentata di seguito.
Osservazioni
L'esempio più semplice dell'accelerazione di un corpo che si muove in circolo può essere osservato facendo ruotare una pietra su una corda. Tiri la corda e la corda tira la pietra verso il centro. In ogni momento, la corda imprime alla pietra una certa quantità di movimento, e ogni volta in una nuova direzione. Puoi immaginare il movimento della corda come una serie di deboli sussulti. Uno strappo - e la corda cambia direzione, un altro strappo - un altro cambiamento e così via in cerchio. Se lasci la corda all'improvviso, gli strappi si fermeranno e con essi il cambio di direzione della velocità. La pietra si sposterà nella direzione tangente al cerchio. Sorge la domanda: "Con quale accelerazione si muoverà il corpo in questo istante?"
Formula per l'accelerazione centripeta
Innanzitutto vale la pena notare che il movimento di un corpo in un cerchio è complesso. La pietra partecipa contemporaneamente a due tipi di movimento: sotto l'influenza della forza si muove verso il centro di rotazione, e allo stesso tempo lungo una tangente al cerchio, allontanandosi da questo centro. Secondo la seconda legge di Newton, la forza che tiene una pietra su una corda è diretta verso il centro di rotazione lungo la corda. Anche il vettore accelerazione sarà diretto lì.
Supponiamo che dopo un po' di tempo la nostra pietra, muovendosi uniformemente con velocità V, vada dal punto A al punto B. Supponiamo che nel momento in cui il corpo ha attraversato il punto B, la forza centripeta abbia cessato di agire su di esso. Poi, in un periodo di tempo, arriverebbe al punto K. Si trova sulla tangente. Se nello stesso momento sul corpo agissero solo le forze centripete, allora durante il tempo t, muovendosi con la stessa accelerazione, finirebbe nel punto O, che si trova su una linea retta che rappresenta il diametro di un cerchio. Entrambi i segmenti sono vettori e obbediscono alla regola della somma dei vettori. Sommando questi due movimenti in un periodo di tempo t si ottiene il movimento risultante lungo l'arco AB.
Se si considera che l'intervallo di tempo t sia trascurabilmente piccolo, l'arco AB differirà poco dalla corda AB. Pertanto è possibile sostituire il movimento lungo un arco con il movimento lungo una corda. In questo caso, il movimento della pietra lungo la corda obbedirà alle leggi del moto rettilineo, ovvero la distanza AB percorsa sarà uguale al prodotto della velocità della pietra e del tempo del suo movimento. AB = Vxt.
Indichiamo con la lettera a l'accelerazione centripeta desiderata. Quindi il percorso percorso solo sotto l'influenza dell'accelerazione centripeta può essere calcolato utilizzando la formula per il movimento uniformemente accelerato:
La distanza AB è uguale al prodotto della velocità per il tempo, cioè AB = V x t,
AO - calcolato in precedenza utilizzando la formula del moto uniformemente accelerato per lo spostamento in linea retta: AO = a 2 / 2.
Sostituendo questi dati nella formula e trasformandoli, otteniamo una formula semplice ed elegante per l'accelerazione centripeta:
In parole, questo può essere espresso come segue: l'accelerazione centripeta di un corpo che si muove su una circonferenza è uguale al quoziente della velocità lineare al quadrato per il raggio del cerchio lungo il quale il corpo ruota. La forza centripeta in questo caso sarà simile all'immagine qui sotto.
Velocità angolare
La velocità angolare è uguale alla velocità lineare divisa per il raggio del cerchio. È vera anche l'affermazione inversa: V = ωR, dove ω è la velocità angolare
Se sostituiamo questo valore nella formula, possiamo ottenere un'espressione per l'accelerazione centrifuga per la velocità angolare. Apparirà così:
Accelerazione senza cambiare velocità
Eppure, perché un corpo con accelerazione diretta verso il centro non si muove più velocemente e non si avvicina al centro di rotazione? La risposta sta nella formulazione stessa dell’accelerazione. I fatti dimostrano che il moto circolare è reale, ma per mantenerlo è necessaria un'accelerazione diretta verso il centro. Sotto l'influenza della forza causata da questa accelerazione, si verifica un cambiamento nella quantità di movimento, a seguito della quale la traiettoria del movimento è costantemente curva, cambiando continuamente la direzione del vettore velocità, ma senza modificarne il valore assoluto . Muovendosi in cerchio, la nostra pietra longanime si precipita verso l'interno, altrimenti continuerebbe a muoversi tangenzialmente. In ogni istante del tempo, andando tangenzialmente, la pietra è attratta dal centro, ma non vi cade. Un altro esempio di accelerazione centripeta sarebbe uno sciatore nautico che fa piccoli cerchi sull'acqua. La figura dell'atleta è inclinata; sembra cadere, continuando a muoversi e sporgendosi in avanti.
Pertanto, possiamo concludere che l'accelerazione non aumenta la velocità del corpo, poiché i vettori velocità e accelerazione sono perpendicolari tra loro. Sommata al vettore velocità, l'accelerazione cambia solo la direzione del movimento e mantiene il corpo in orbita.
Superamento del fattore di sicurezza
Nell'esperimento precedente avevamo a che fare con una corda perfetta che non si rompeva. Ma diciamo che la nostra corda è la più ordinaria e puoi anche calcolare la forza dopo la quale semplicemente si romperà. Per calcolare questa forza è sufficiente confrontare la resistenza della corda con il carico che subisce durante la rotazione della pietra. Facendo ruotare la pietra ad una velocità maggiore, le si impartisce una maggiore quantità di movimento, e quindi una maggiore accelerazione.
Con un diametro della corda di iuta di circa 20 mm, la sua resistenza alla trazione è di circa 26 kN. È interessante notare che la lunghezza della corda non appare da nessuna parte. Facendo ruotare un carico di 1 kg su una corda di raggio 1 m, possiamo calcolare che la velocità lineare necessaria per romperla è 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m Quindi, la velocità pericolosa il superamento sarà pari a √ 26 x 10 3 = 161 m/s.
Gravità
Considerando l'esperimento, abbiamo trascurato l'effetto della gravità, poiché a velocità così elevate la sua influenza è trascurabile. Ma puoi notare che svolgendo una lunga corda, il corpo descrive una traiettoria più complessa e si avvicina gradualmente al suolo.
Corpi celestiali
Se trasferiamo le leggi del moto circolare nello spazio e le applichiamo al movimento dei corpi celesti, possiamo riscoprire alcune formule a noi familiari da tempo. Ad esempio, la forza con cui un corpo è attratto dalla Terra è nota con la formula:
Nel nostro caso il fattore g è la stessa accelerazione centripeta ricavata dalla formula precedente. Solo in questo caso il ruolo della pietra sarà svolto dal corpo celeste attratto dalla Terra, e il ruolo della corda sarà svolto dalla forza di gravità. Il fattore g sarà espresso in termini di raggio del nostro pianeta e della sua velocità di rotazione.
Risultati
L'essenza dell'accelerazione centripeta è il duro e ingrato lavoro di mantenere in orbita un corpo in movimento. Si osserva un caso paradossale quando, con accelerazione costante, un corpo non cambia il valore della sua velocità. Per una mente inesperta, una simile affermazione è piuttosto paradossale. Tuttavia, sia quando si calcola il movimento di un elettrone attorno al nucleo, sia quando si calcola la velocità di rotazione di una stella attorno a un buco nero, l'accelerazione centripeta gioca un ruolo importante.