Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.

В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.

Определение.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .

Определение.

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .

Область значений функции обозначают как E(f) .

Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x) . Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x) .

На рисунке приведены несколько примеров.

Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.

Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением (шестой случай) и т.п.

Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.

Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке .

Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений . Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке будет отрезок . Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке .

Для примера найдем область значений функции арксинуса.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx .

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1] . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1) , то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1 , а наибольшее при x = 1 .

Мы получили область значений функции арксинуса .

Пример.

Найдите множество значений функции на отрезке .

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку :

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках :

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок .

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b) , .

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

Пример.

Определите множество значений функции на интервале (-2; 2) .

Решение.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2) :

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.

есть соответствующий максимум функции.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:

Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0 ), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .

Пример.

Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале .

Решение.

Производная функции тангенса на интервале положительна , что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:

Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел .

Пример.

Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx .

Решение.

Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента . На этом интервале производная положительна , это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x стремящемся к плюс бесконечности:

Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.

Пример.

Решение.

Эта функция определена для всех действительных значений x . Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Следовательно, функция убывает при , возрастает при , x = 0 - точка максимума, соответствующий максимум функции.

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.

Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.

Посмотрите на схематический рисунок.

Теперь хорошо видно, что область значений функции есть .

Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.

Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.

Пример.

Найдите область значений функции .

Решение.

Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, .

Сначала найдем множество значений функции на открытом луче .

Производная функции отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.

Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений . Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.

Действуем аналогично для открытого луча .

На этом промежутке функция тоже убывает.

Множество значений функции на этом промежутке есть множество .

Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .

Графическая иллюстрация.

Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.

Пример.

Найдите область значений функции синуса y = sinx .

Решение.

Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем.

Отрезку принадлежат две точки экстремума и .

Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:

Следовательно, .

Пример.

Найдите область значения функции .

Решение.

Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, или в другой записи . Функция может быть получена из arccosx сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, . Функция получается из растяжением втрое вдоль оси Оy , то есть, . И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству

Таким образом, искомая область значений есть .

Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).

Пример.

Определите область значений функции .

Решение.

Запишем исходную функцию в виде . Областью значений степенной функции является промежуток . То есть, . Тогда

Следовательно, .

Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

Например: y=x+1

2) Функция монотонно убывает при k < 0 .

Например: y=-x+1

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Например: y=-1

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число

D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .

Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

Например: y=\frac{1}{x}

2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Например: y=-\frac{1}{x}

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi

Данные об авторе

Пучкова Н.В.

Место работы, должность:

МБОУ СОШ №67, учитель математики

Хабаровский край

Характеристики ресурса

Уровни образования:

Основное общее образование

Класс(ы):

Предмет(ы):

Алгебра

Целевая аудитория:

Учащийся (студент)

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Тип ресурса:

Дидактический материал

Краткое описание ресурса:

Обобщение приёмов нахождения множеств значений различных функций.

Обобщение различных приёмов нахождения

множеств значений различных функций.

Пучкова Наталья Викторовна,

учитель математики МБОУ СОШ №6

Приём 1.

Нахождение множества значений функции по её графику.

Приём 2.

Нахождение множества значений функции с помощью производной.

Приём 3.

Последовательное нахождение множества значений функций, входящих в данную ком-

позицию функций (приём пошагового нахождения множества значений функции).

Задание 1.

Найти множество значений функции y = 4 - sinx.

Зная, что функция y = sinxпринимает все значения от -1 до 1 , то с помощью свойств

неравенств получаем, что -1 sinx 1

Значит, функция y = 4 - sinx может принимать все значения не меньше 3 и не больше 5.

Множество значений Е(y) = .

Ответ: .

Приём 4.

Выражение xчерез y. Заменяем нахождение множества значений данной функции нахож-

дением области определения функции, обратной к данной.

Задание 2.

Выразим xчерез y: х 2 у + 3у = х 2 + 2

х 2 (у - 1) = 2 - 3у.

1 случай : если у - 1 = 0, то уравнение х 2 + 3 = х 2 + 2 корней не имеет. Получили, что фун-

кция у не принимает значения, равного 1.

2 случай: если у -10, то. Так как, то. Решая это неравенст-

во методом интервалов, получим <1.

Приём 5.

Упрощение формулы, задающей дробно-рациональную функцию.

Задание 3.

Найти множество значений функции.

Области определения функций и y = х - 4 различны (отличаются одной

точкой х = 0). Найдём значение функции y = х - 4 в точке х = 0: y(0) = - 4.

Е(х - 4) = (). Множества значений функций и y = х - 4 будут

совпадать, если из множества значений y = х - 4 исключить значение y = - 4.

Приём 6.

Нахождение множества значений квадратичныхфункций (с помощью нахождения вер-

шины параболы и установления характера поведения её ветвей).

Задание 4.

Найти множество значений функции у = x 2 - 4x + 3.

График данной функции - парабола. Абсцисса её вершины х в = .

Ордината её вершины у в = у(2) = - 1.

Ветви параболы направлены вверх, так как старший коэффициент больше нуля (a=1>0).

Так как функция непрерывна, то она может принимать все значения у. Множество

значений данной функции: Е(y) = [ - 1;).

Ответ: [ - 1;).

Приём 7.

Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых триго-

нометрических функций.

Данный приём применяется для нахождения множества значений некоторых тригоно-

метрических функций. Например, вида y = a·sinx + b·cosx или y = a·sin(px) + b·cos(px),

если а0 и b0.

Задание 5.

Найти множество значений функции y = 15sin 2x + 20cos 2x.

Найдём значение. Преобразуем выражение:

15sin 2x + 20cos 2x =25,

Множество значений функции y = sin(2x +) : -11.

Тогда множество значений функции y = 25sin(2x +): Е(у) = [ - 25;25].

Ответ: [ - 25;25].

Задание 6.

Найти множество значений функций: а) ; б) у = sin5x - cos5x ;

в) ; г) у = 4х 2 + 8х + 10 ; д) ; е).

Решение а).

а) выразим х через у:

6х + 7 = 3у - 10ху

х(6 + 10у) = 3у - 7.

Если 6 + 10у = 0, то у = - 0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим:

0·х = - 8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит функция не принимает значения

Если 6 + 10у 0, то. Область определения этого уравнения: R, кроме y = - 0,6.

Получим: Е(у) =.

Решение б).

б) найдём значение и преобразуем выражение: .

Учитывая множество значений функции, получим: Е(у) =. Функция не-

прерывна, таким образом она будет принимать все значения из этого промежутка.

Решение в).

в) Учитывая, что, по свойствам неравенств получим:

Таким образом, Е(у) = .

Решение г).

г) можно использовать способ, предложенный в приёме 6, а можно выделить полный квадрат:

4х 2 + 8х + 10 = (2х + 1) 2 + 9.

Значения у = (2х + 1) 2 принадлежат промежутку , б) [ -45º ; 45º ], в) [ - 180º ; 45º ].

а) так как в 1 четверти функция у = cosx непрерывна и убывает, значит, большему аргу-

менту соответствует меньшее значение функции, т.е. , если 30º45º , то функция

принимает все значения из промежутка.

Ответ: Е(у) = .

б) на промежутке [ -45º ; 45º ] функция у = cosx не является монотонной. Рассмотрим

два промежутка: [ -45º ; 0º ] и [ 0º ; 45º ]. На первом из этих промежутков функция

у = cosx непрерывна и возрастает, а на втором - непрерывна и убывает. Получаем, что

множество значений на первом промежутке, на втором.

Ответ: Е(у) = .

в) аналогичными рассуждениями можно воспользоваться и в этом случае. Хотя, сделаем

рациональнее: спроектируем дугу MPN на ось абсцисс.

В силу непрерывности функции получим, что множество значений функции у = cosx

при х [ - 180º ; 45º ] есть промежуток [ - 1;1 ].

Ответ: [ - 1;1 ].

Задания для самостоятельного решения.

Группа А.

Для каждого из заданий этой группы даны 4 варианта ответа. Выберите номер правильного ответа.

1. Найти множество значений функции.

1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)

2. Найти множество значений функции.

3. Найти множество значений функции.

1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]

4. Найти множество значений функции.

1) [-1;1] 2) 3) 4) ()

5. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке .

1) 2) 3) 4) [-1;1]

6. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке .

1) 2) 3) 4) [-1;1]

7. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке .

1) 2) 3) [-1;1] 4)

8. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке .

1) 2) 3) [-1;1] 4)

9. Множеством значений функции является промежуток:

1) 3)(- 5;1) 4)(0;1)

12. Укажите функцию, убывающую на всей области определения.

1) 2) 3) 4) y = x - 1.

13. Укажите область определения функции.

1) 2)(0;1) 3) 4)

Группа В.

Ответом в заданиях этой группы может быть целое число или число, записанное в виде десятич-

ной дроби .

14. Найти наибольшее целое значение функции у = 3х 2 - х + 5 на отрезке [ 1; 2 ].

15. Найти наибольшее целое значение функции у = - 4х 2 + 5х - 8 на отрезке [ 2; 3 ].

16. Найти наибольшее целое значение функции у = - х 2 + 6х - 1 на отрезке [ 0; 4 ].

17. Укажите наименьшее целое число, входящее в область определения функции

18. Укажите, сколько целых чисел содержит область определения функции.

19. Найти длину промежутка, являющегося областью определения функции.

20. Найти наибольшее значение функции.

21. Найти наибольшее значение функции.

22. Найти наибольшее значение функции.

23. Найти наименьшее значение функции.

24. Найти наибольшее значение функции.

25. Сколько целых чисел содержит множество значений функции у = sin 2 x + sinx ?

26. Найти наименьшее значение функции.

27. Сколько целых чисел содержит множество значений функции?

28. Найти наибольшее значение функции на промежутке.

29. Найти наибольшее значение функции на промежутке.

30. Какого значения функция не достигает ни при каком значении х?

31. Найти наибольшее целое значение функции.

32. Найти наименьшее целое значение функции.

33. Найти наибольшее значение функции.

34. Найти наименьшее значение функции.

Группа С.

Решите следующие задания с полным обоснованием решения.

35. Найти множество значений функции.

36. Найти множество значений функции.

37. Найти множество значений функции.

38. Найти множество значений функции.

39. При каких значениях функция у = х 2 + (- 2)х + 0,25 не принимает отрицательных зна-

40. При каких значениях функция у = ·cosx + sinx - ·sinx будет чётной?

41. При каких значениях функция у =·cosx + sinx - ·sinx будет нечётной?

Лекция 19. Функция. Область определения и множество значений функции.

Функция - одно из важнейших математических понятий.

Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y - зависимой переменной или значением функции или простофункцией.

Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.

Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.

Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2x 2 –6. Тогда можно записать, что f(x)=2x 2 –6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.

Определение: Область определения функции - это все значения x, при которых существует функция.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой, где l 0 начальная длина стержня, а -коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx .

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1] . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1) , то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1 , а наибольшее при x = 1 .

Мы получили область значений функции арксинуса .

Найдите множество значений функции на отрезке .

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку :